Johann Carl Friedrich Gauss (ou Gauß) (Braunschweig, 30 de abril de 1777 — Göttingen, 23 de fevereiro de 1855) foi um matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletroestática, astronomia e óptica.
Alguns se referem a ele como princeps mathematicorum (em latim: "o príncipe da matemática" ou "o mais notável dos matemáticos") e um "grande matemático desde a antiguidade". Gauss tinha uma marca influente em muitas áreas da matemática e da ciência e é um dos mais influentes na história da matemática. Ele considerava a matemática como "a rainha das ciências".
Filho de pais humildes, o pai, Gebhard Dietrich Gauß, era jardineiro, encanador e ajudante de pedreiro, a mãe Dorothea Benze era analfabeta, não tendo registrado a data de nascimento de Gauss.
Aos sete anos entrou para a escola. Segundo uma história famosa, seu diretor, Butner, pediu que os alunos somassem os números inteiros de um a cem. Mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa, dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050, foi encontrada através do raciocínio que demonstra a fórmula da soma de uma progressão aritmética. Büttner, impressionado, passou a estimular Gauss nos estudos com a ajuda de seu auxiliar, o jovem Johann Christian Martin Bartels (1769 – 1836), então com cerca de dezoito anos e igualmente fascinado pela matemática. Bartels logo reconheceu o talento extraordinário do menino e chegou a recomendá-lo ao duque de Brunswick para que recebesse uma bolsa no Collegium Carolinum. Dessa convivência escolar nasceu uma amizade duradoura que se manteve ao longo de toda a vida de ambos.
Em novembro de 1804 casou-se com Johanna Elisabeth Rosina Osthoff (nascida em 8 de maio de 1780) e que faleceu alguns anos depois, em 11 de outubro de 1809. Do primeiro casamento teve três filhos: Joseph, Wilhelmine e Louis. Depois casou com Friederica Wilhelmine Waldeck, com quem teve mais três filhos: Eugen, Wilhelm e Therese.
Aos doze anos Gauss já olhava com desconfiança para os fundamentos da geometria euclidiana; aos dezesseis já tinha tido seu primeiro vislumbre de uma geometria diferente da de Euclides. Um ano mais tarde, começou uma busca crítica das provas, na teoria dos números, que tinham sido aceitas por seus antecessores e tomou a decisão de preencher os vazios e completar o que tinha sido feito pela metade. Aritmética, o campo de seus primeiros triunfos, tornou-se seu estudo favorito e o campo de sua obra prima. Para que a prova fosse absolutamente certa, Gauss acrescentou uma fecunda e engenhosa matemática que nunca foi superada.
Bartels apresentou-o a alguns influentes homens em Brunswick que, impressionados, levaram-no para que Carl Wilhelm Ferdinand, Duque de Brunswick, o conhecesse. O Duque de Brunswick imediatamente assegurou que sua educação no Collegium Carolinum continuaria até ser completada. Nos três anos em que ali esteve dominou os mais importantes trabalhos de Leonhard Euler, Lagrange e, acima de tudo, o Principia de Newton. Por seus estudos redescobriu, e foi o primeiro a provar, "a joia da aritmética", o "theorema aureum" e "teorema de ouro", conhecido como a lei da reciprocidade quadrática, que Euler tinha induzido e Legendre tentara provar, sem qualquer resultado.
Com a idade de quinze anos fez um grande avanço em línguas clássicas estudando sozinho e com a ajuda de amigos mais velhos. Teve a oposição de seu pai mas Dorothea Gauss venceu a resistência do marido e o Duque patrocinou dois anos de curso no Gymnasium. Ali ele assombrou a todos por sua maestria nos clássicos.
O método dos mínimos quadrados - Legendre publicou em 1805; Gauss já o usava em 1795. Daniel Huber raramente é citado por falta de publicação contemporânea. Este trabalho foi o começo do interesse de Gauss na teoria dos erros de observação. A lei de Gauss da distribuição normal de erros e sua curva em formato de sino, que a acompanha, é hoje familiar para todos que trabalham com estatística.
A decisão sobre o seu verdadeiro caminho, se o da filologia ou da matemática, foi feita em 30 de março de 1796, quando começou seu diário científico, que representa um dos mais preciosos documentos da história da matemática. O estudo de línguas passou a ser um passatempo para o resto de sua vida. O diário só foi conhecido pela ciência em 1898, quarenta e três anos depois de sua morte, quando a Sociedade Real de Göttingen o pediu emprestado a um neto de Gauss para estudo crítico. Ali se encontram dezenove pequenas páginas e contém 146 extremamente resumidos registros de descobertas ou resultados de cálculos, o último deles datado de 9 de julho de 1814.
Nem todas as descobertas de Gauss no período prolífico de 1796 a 1814 foram anotadas, mas muitas das que ele rascunhou são suficientes para estabelecer a prioridade de Gauss em vários campos (funções elípticas, por exemplo) onde alguns de seus contemporâneos se recusaram a acreditar que ele os havia precedido. Gauss formulou o teorema do fluxo em 1835; o arranjo final nas “quatro equações” é obra de Maxwell (década de 1860)
Muito ficou encerrado por anos ou décadas neste diário. Gauss nunca reivindicou a autoria de descobertas a que ele se antecipara (algumas se tornaram importantes campos da matemática no século XIX). No diário, há anotações muito pessoais, como por exemplo, no dia 10 de julho de 1798 há o seguinte registro: "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ". Traduzindo-se: Eureka! todo número inteiro positivo é a soma de três números triangulares.
Embora o sentido de alguns registros esteja perdido para sempre, a maior parte é suficientemente clara. Alguns nunca foram publicados, segundo ele, por considerar seus trabalhos científicos apenas como resultado da profunda compulsão de sua natureza. Publicá-los para o conhecimento de outros lhe era inteiramente indiferente. Disse também que um tal volume de novas ideias trovejaram em sua mente, antes de ter completado vinte anos que, dificilmente, poderia controlá-las, só havendo tempo de registrar uma pequena fração delas.
Gauss apresentava provas sintéticas e conclusões indestrutíveis de suas descobertas às quais nada poderia ser acrescentado ou retirado. Uma catedral não é uma catedral - disse - até que o último andaime tenha sido retirado. Com este ideal diante de si, Gauss preferia polir sua obra muitas vezes, ao invés de publicar um grosseiro esboço. Seu princípio era: uma árvore com poucos frutos maduros (Pauca sed matura).
Os frutos deste esforço em busca da perfeição estavam, na verdade, maduros mas nem sempre facilmente digeríveis. Todos os passos pelos quais o gol tinha sido atingido tinham sido omitidos, não era fácil para seus seguidores redescobrir a estrada pela qual ele tinha caminhado. Consequentemente, alguns de seus trabalhos tiveram que esperar por intérpretes altamente qualificados antes que o mundo da matemática pudesse entendê-los.
Só os matemáticos do século XIX conscientizaram quanto Gauss tinha previsto antes de 1800. Caso ele tivesse divulgado o que sabia, é possível que a matemática estivesse meio século mais adiantada do que se encontra. Niels Henrik Abel e Jacobi poderiam ter começado de onde Gauss terminou, ao invés de terem que redescobrir o que Gauss já sabia antes que eles tivessem nascido.
Os três anos (outubro de 1795 - setembro de 1798) na Universidade de Göttingen foram os mais prolíficos da vida de Gauss. Graças à generosidade do Duque Ferdinand, o jovem não teve que se preocupar com finanças.
Em setembro de 1798 foi para a Universidade de Helmstedt, tendo sido precedido por sua fama, hospedou-se na casa do professor de matemática Johann Friedrich Pfaff (1765-1825).