Felix Christian Klein ([klaɪn]; de; 25 de abril de 1849 – 22 de junho de 1925) foi um matemático, educador matemático e historiador da matemática alemão, conhecido por seu trabalho em teoria dos grupos, análise complexa, geometria não euclidiana, e as associações entre geometria e teoria dos grupos. Seu programa de Erlangen de 1872 classificou geometrias por seus grupos de simetria básicos e foi uma síntese influente de grande parte da matemática da época.
Durante sua permanência na Universidade de Göttingen, Klein conseguiu transformá-la em um centro de pesquisa matemática e científica através do estabelecimento de novas aulas, cátedras e institutos. Seus seminários cobriam a maioria das áreas da matemática então conhecidas, bem como suas aplicações. Klein também dedicou tempo considerável ao ensino matemático e promoveu a reforma da educação matemática em todos os níveis de ensino na Alemanha e no exterior. Tornou-se o primeiro presidente da Comissão Internacional de Instrução Matemática em 1908 no Quarto Congresso Internacional de Matemáticos em Roma.
Felix Klein nasceu em 25 de abril de 1849 em Düsseldorf, de pais prussianos. Seu pai, Caspar Klein (1809–1889), era secretário de um funcionário do governo prussiano estacionado na Província do Reno. Sua mãe era Sophie Elise Klein (1819–1890, nome de solteira Kayser). Frequentou o Gymnasium em Düsseldorf, depois estudou matemática e física na Universidade de Bonn, 1865–1866, pretendendo tornar-se físico. Naquela época, Julius Plücker tinha a cátedra de matemática e física experimental de Bonn, mas quando Klein tornou-se seu assistente, em 1866, o interesse de Plücker era principalmente geometria. Klein recebeu seu doutorado, supervisionado por Plücker, da Universidade de Bonn em 1868. Plücker morreu em 1868, deixando seu livro sobre a base da geometria de linhas incompleto. Klein era a pessoa óbvia para completar a segunda parte do Neue Geometrie des Raumes de Plücker, e assim conheceu Alfred Clebsch, que havia se mudado para Göttingen em 1868. Klein visitou Clebsch no ano seguinte, junto com visitas a Berlim e Paris. Em julho de 1870, no início da Guerra Franco-Prussiana, ele estava em Paris e teve que deixar o país. Por um breve período serviu como enfermeiro no exército prussiano antes de ser nomeado Privatdozent (professor) em Göttingen no início de 1871. A Universidade de Erlangen nomeou Klein professor em 1872, quando ele tinha apenas 23 anos. Para isso, foi endossado por Clebsch, que o considerava como provável de tornar-se o melhor matemático de seu tempo. Klein não desejava permanecer em Erlangen, onde havia muito poucos estudantes, e ficou contente em receber uma cátedra na Technische Hochschule München em 1875. Lá, ele e Alexander von Brill ensinaram cursos avançados para muitos excelentes estudantes, incluindo Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi e Gregorio Ricci-Curbastro. Em 1875, Klein casou-se com Anne Hegel, neta do filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel. Depois de passar cinco anos na Technische Hochschule, Klein foi nomeado para uma cátedra de geometria na Universidade de Leipzig. Seus colegas incluíam Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study e Friedrich Engel. Os anos de Klein em Leipzig, 1880 a 1886, mudaram fundamentalmente sua vida. Em 1882, sua saúde entrou em colapso e ele lutou contra a depressão nos dois anos seguintes. Mesmo assim, sua pesquisa continuou; seu trabalho seminal sobre funções sigma hiperelípticas, publicado entre 1886 e 1888, data de cerca desse período.
Klein aceitou uma cátedra na Universidade de Göttingen em 1886. Dali em diante, até sua aposentadoria em 1913, procurou restabelecer Göttingen como o principal centro mundial de pesquisa matemática. No entanto, nunca conseguiu transferir de Leipzig para Göttingen seu próprio papel principal como desenvolvedor da geometria. Ensinou uma variedade de cursos em Göttingen, principalmente sobre a interface entre matemática e física, em particular, mecânica e teoria do potencial. A instalação de pesquisa que Klein estabeleceu em Göttingen serviu como modelo para as melhores dessas instalações em todo o mundo. Introduziu reuniões semanais de discussão e criou uma sala de leitura matemática e biblioteca. Em 1895, Klein recrutou David Hilbert da Universidade de Königsberg. Esta nomeação provou ser de grande importância; Hilbert continuou a aprimorar a primazia de Göttingen em matemática até sua própria aposentadoria em 1932.
Sob a editoria de Klein, Mathematische Annalen tornou-se uma das melhores revistas matemáticas do mundo. Fundada por Clebsch, cresceu sob a gestão de Klein, para rivalizar, e eventualmente superar o Crelle's Journal, baseado na Universidade de Berlim. Klein estabeleceu uma pequena equipe de editores que se reunia regularmente, tomando decisões em espírito democrático. A revista primeiro se especializou em análise complexa, geometria algébrica e teoria dos invariantes. Também forneceu uma importante saída para análise real e a nova teoria dos grupos. Em 1893, Klein foi um dos principais palestrantes no Congresso Internacional de Matemática realizado em Chicago como parte da Exposição Mundial Columbiana.
Devido em parte aos esforços de Klein, Göttingen começou a admitir mulheres em 1893. Ele supervisionou a primeira tese de doutorado em matemática escrita em Göttingen por uma mulher, por Grace Chisholm Young, uma estudante inglesa de Arthur Cayley, a quem Klein admirava. Em 1897, Klein tornou-se membro estrangeiro da Real Academia Holandesa de Artes e Ciências.
Por volta de 1900, Klein começou a interessar-se pelo ensino matemático nas escolas. Em 1905, foi instrumental na formulação de um plano recomendando que geometria analítica, os rudimentos do cálculo diferencial e integral, e o conceito de função fossem ensinados no ensino médio. Esta recomendação foi gradualmente implementada em muitos países ao redor do mundo. Em 1908, Klein foi eleito presidente da Comissão Internacional de Instrução Matemática no Congresso Internacional de Matemáticos de Roma.
Sob sua orientação, a parte alemã da Comissão publicou muitos volumes sobre o ensino de matemática em todos os níveis na Alemanha.
A Sociedade Matemática de Londres concedeu a Klein sua Medalha De Morgan em 1893. Foi eleito membro da Royal Society em 1885, e recebeu sua Medalha Copley em 1912. Aposentou-se no ano seguinte devido a problemas de saúde, mas continuou a ensinar matemática em sua casa por vários anos adicionais. Klein foi um dos noventa e três signatários do Manifesto dos Noventa e Três, um documento escrito em apoio à invasão alemã da Bélgica nos primeiros estágios da Primeira Guerra Mundial. Morreu em Göttingen em 1925.
A dissertação de Klein, sobre geometria de linhas e suas aplicações à mecânica, classificou complexos de linha de segundo grau usando a teoria dos divisores elementares de Weierstrass.
As primeiras descobertas matemáticas importantes de Klein foram feitas em 1870. Em colaboração com Sophus Lie, descobriu as propriedades fundamentais das linhas assintóticas na superfície de Kummer. Mais tarde investigaram curvas W, curvas invariantes sob um grupo de transformações projetivas. Foi Lie quem introduziu Klein ao conceito de grupo, que teve um papel importante em seu trabalho posterior. Klein também aprendeu sobre grupos com Camille Jordan.
Klein criou a "garrafa de Klein" que leva seu nome, uma superfície fechada unilateral que não pode ser incorporada no espaço euclidiano tridimensional, mas pode ser imersa como um cilindro curvado de volta através de si mesmo para unir-se à sua outra extremidade do "interior". Pode ser incorporada no espaço euclidiano de dimensões 4 e superiores. O conceito de Garrafa de Klein foi criado como uma fita de Möbius tridimensional, com um método de construção sendo a união das bordas de duas fitas de Möbius.
Durante a década de 1890, Klein começou a estudar física matemática mais intensivamente, escrevendo sobre o giroscópio com Arnold Sommerfeld. Durante 1894, iniciou a ideia de uma enciclopédia de matemática incluindo suas aplicações, que se tornou a Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Este empreendimento, que durou até 1935, forneceu uma importante referência padrão de valor duradouro.