Joseph-Louis Lagrange (nascido Giuseppe Luigi Lagrangia ou Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier; 25 de janeiro de 1736 – 10 de abril de 1813), também registrado como Giuseppe Luigi Lagrange ou Lagrangia, foi um matemático, físico e astrônomo italiano e naturalizado francês. Ele fez contribuições significativas para as áreas de análise, teoria dos números e tanto para a mecânica clássica quanto para a mecânica celeste.
Em 1766, por recomendação de Leonhard Euler e d'Alembert, Lagrange sucedeu Euler como diretor de matemática da Academia de Ciências da Prússia em Berlim, Prússia, onde permaneceu por mais de vinte anos, produzindo muitos volumes de trabalho e ganhando vários prêmios da Academia Francesa de Ciências. O tratado de Lagrange sobre mecânica analítica (Mécanique analytique, 4. ed., 2 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), que foi escrito em Berlim e publicado pela primeira vez em 1788, ofereceu o tratamento mais abrangente da mecânica clássica desde Isaac Newton e formou uma base para o desenvolvimento da física matemática no século XIX.
Em 1787, aos 51 anos, mudou-se de Berlim para Paris e tornou-se membro da Academia Francesa de Ciências. Permaneceu na França até o fim de sua vida. Ele foi fundamental no processo de decimalização na França Revolucionária, tornou-se o primeiro professor de análise na École Polytechnique quando esta abriu em 1794, foi membro fundador do Bureau des Longitudes e tornou-se Senador em 1799.
Lagrange foi um dos criadores do cálculo de variações, derivando as equações de Euler-Lagrange para extremos de funcionais. Ele estendeu o método para incluir possíveis restrições, chegando ao método dos multiplicadores de Lagrange. Lagrange inventou o método de resolução de equações diferenciais conhecido como variação dos parâmetros, aplicou o cálculo diferencial à teoria das probabilidades e trabalhou em soluções para equações algébricas. Ele provou que todo número natural é a soma de quatro quadrados. Seu tratado Théorie des fonctions analytiques estabeleceu algumas das bases da teoria dos grupos, antecipando Galois. No cálculo, Lagrange desenvolveu uma abordagem inovadora para interpolação e o teorema de Taylor. Ele estudou o problema dos três corpos para a Terra, Sol e Lua (1764) e o movimento dos satélites de Júpiter (1766), e em 1772 encontrou as soluções de caso especial para este problema que resultam no que são agora conhecidos como pontos de Lagrange. Lagrange é mais conhecido por transformar a mecânica newtoniana em um ramo da análise, a mecânica lagrangiana. Ele apresentou os "princípios" mecânicos como resultados simples do cálculo variacional.
Primogênito de onze filhos como Giuseppe Lodovico Lagrangia, Lagrange era descendente de italianos e franceses. Seu bisavô paterno foi um capitão de cavalaria do Reino da França, cuja família era originária da região francesa de Tours. Após servir sob Luís XIV, ele entrou ao serviço de Carlos Emanuel II, Duque de Saboia, e casou-se com uma Conti da nobre família romana. O pai de Lagrange, Giuseppe Francesco Lodovico, era doutor em Direito pela Universidade de Turim, enquanto sua mãe era filha única de um médico rico de Cambiano, no campo de Turim. Ele foi criado como católico romano (mas mais tarde tornou-se agnóstico).
Seu pai, que estava encarregado do cofre militar do Rei e era Tesoureiro do Escritório de Obras Públicas e Fortificações em Turim, deveria manter uma boa posição social e riqueza, mas antes que seu filho crescesse, ele perdera a maior parte de sua propriedade em especulações. Uma carreira como advogado foi planejada para Lagrange por seu pai, e certamente Lagrange parece ter aceitado isso de bom grado. Ele estudou na Universidade de Turim e sua matéria favorita era o latim clássico. No início, não tinha grande entusiasmo pela matemática, achando a geometria grega bastante enfadonha.
Foi somente aos dezessete anos que mostrou algum gosto pela matemática – seu interesse pelo assunto foi inicialmente despertado por um artigo de Edmond Halley de 1693 que encontrou por acaso. Sozinho e sem ajuda, lançou-se aos estudos matemáticos; ao final de um ano de trabalho incessante, já era um matemático consumado. Carlos Emanuel III nomeou Lagrange para servir como "Sostituto del Maestro di Matematica" (professor assistente de matemática) na Academia Militar Real de Teoria e Prática da Artilharia em 1755, onde lecionou cursos de cálculo e mecânica para apoiar a adoção precoce pelo exército piemontês das teorias balísticas de Benjamin Robins e Leonhard Euler. Nessa qualidade, Lagrange foi o primeiro a ensinar cálculo em uma escola de engenharia. Segundo Alessandro Papacino D'Antoni, comandante militar da academia e famoso teórico de artilharia, Lagrange infelizmente revelou-se um professor problemático devido ao seu estilo de ensino distraído, raciocínio abstrato e impaciência com aplicações de artilharia e engenharia de fortificações. Nesta academia, um de seus alunos foi François Daviet.
Lagrange é um dos fundadores do cálculo de variações. A partir de 1754, trabalhou no problema da tautócrona, descobrindo um método de maximizar e minimizar funcionais de maneira semelhante a encontrar extremos de funções. Lagrange escreveu várias cartas a Leonhard Euler entre 1754 e 1756 descrevendo seus resultados. Ele delineou seu "δ-algoritmo", levando às equações de Euler-Lagrange do cálculo variacional e simplificando consideravelmente a análise anterior de Euler. Lagrange também aplicou suas ideias a problemas de mecânica clássica, generalizando os resultados de Euler e Maupertuis.
Euler ficou muito impressionado com os resultados de Lagrange. Afirma-se que "com cortesia característica, ele reteve um artigo que havia escrito anteriormente, que cobria parte do mesmo terreno, para que o jovem italiano tivesse tempo de completar seu trabalho e reivindicar a invenção incontestável do novo cálculo"; no entanto, essa visão cavalheiresca foi contestada. Lagrange publicou seu método em duas memórias da Sociedade de Turim em 1762 e 1773.
Em 1757, juntamente com Giuseppe Angelo Saluzzo (um químico que disponibilizou sua casa para as reuniões) e o físico Giovanni Francesco Cigna, Lagrange fundou uma sociedade, que foi posteriormente incorporada como a Academia de Ciências de Turim. A maioria de seus primeiros escritos encontra-se nos cinco volumes das transações da Academia, geralmente conhecidos como Miscellanea Taurinensia. Muitos desses artigos são elaborados. O primeiro volume contém um artigo sobre a teoria da propagação do som; nele ele indica um erro cometido por Newton, obtém a equação diferencial geral para o movimento e a integra para o movimento em linha reta. Este volume também contém a solução completa do problema de uma corda vibrando transversalmente; neste artigo, ele aponta a falta de generalidade nas soluções dadas anteriormente por Brook Taylor, D'Alembert e Euler, e chega à conclusão de que a forma da curva em qualquer instante t é dada pela equação
{\displaystyle y=a\sin(mx)\sin(nt)\,}
. O artigo conclui com uma discussão magistral sobre ecos, batimentos e sons compostos. Outros artigos neste volume tratam de séries recorrentes, probabilidades e cálculo de variações.
O segundo volume contém um longo artigo que incorpora os resultados de vários artigos do primeiro volume sobre a teoria e notação do cálculo de variações, e ele ilustra seu uso deduzindo o princípio da ação mínima e resolvendo vários problemas em dinâmica.
O terceiro volume inclui a solução de vários problemas dinâmicos por meio do cálculo de variações; alguns artigos sobre o cálculo integral; uma solução de um problema de Fermat: dado um inteiro n que não é um quadrado perfeito, encontrar um número x tal que nx2 + 1 seja um quadrado perfeito; e as equações diferenciais gerais de movimento para três corpos movendo-se sob suas atrações mútuas.
O próximo trabalho que produziu foi em 1764 sobre a libração da Lua e uma explicação de por que a mesma face estava sempre voltada para a Terra, um problema que ele tratou com o auxílio do trabalho virtual. Sua solução é especialmente interessante por conter o germe da ideia de equações generalizadas de movimento, equações que ele provou formalmente pela primeira vez em 1780.