Joseph Liouville (Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de março de 1809 — Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemático francês.
Frequentou a École Polytechnique (Escola Politécnica) de 1825 a 1827. Em seguida, começou a frequentar a École Nationale des Ponts et Chaussées, mas não chegou a se licenciar por razões de saúde e por estar mais interessado em seguir uma carreira académica do que uma de engenheiro. Doutorou-se em matemática em 1836 pela Faculdade de Ciências de Paris.
Foi assistente na École Centrale de Paris de 1831 a 1833 e professor de 1833 a 1838, ano em que foi nomeado professor da Escola Politécnica. Em 1850 foi nomeado professor no Collège de France e, em 1857, professor de mecânica clássica na Faculdade de Ciências de Paris. Em 1870 foi eleito presidente da Académie des Sciences, da qual era membro desde 1839 e vice-presidente desde 1869.
Liouville fundou o Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (que, por isso, é também conhecido por Journal de Liouville), onde fez publicar, em 1846, os trabalhos de Galois, de cuja importância foi o primeiro a aperceber-se.
Embora tenha trabalhado em todas as áreas da matemática pura e aplicada, é sobretudo conhecido por:
o teorema de Liouville (que, ironicamente, é da autoria de Cauchy);
ter sido o autor da primeira demonstração da existência de números transcendentes;
ter sido a primeira pessoa a demonstrar que certas funções não têm primitivas elementares (exp(x2), por exemplo);
ter divulgado os trabalhos de Galois.
Está sepultado no Cemitério do Montparnasse.
Análise, álgebra e teoria dos números
Em uma série de artigos em 1833, Liouville estabeleceu a existência de integrais não elementares e um critério para integração em termos finitos, isto é, em termos de funções elementares.
Em 1838, Liouville publicou um método para estabelecer a existência de soluções para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem envolvendo aproximações sucessivas, posteriormente associado ao nome de Émile Picard, que apresentou uma abordagem mais geral no início da década de 1890.
Em álgebra, Liouville foi um dos primeiros a reconhecer a importância das contribuições do falecido Évariste Galois, cujo trabalho lhe foi encaminhado por Auguste Chevalier, amigo de Galois. Liouville editou e publicou a obra de Galois em seu próprio periódico em 1846, após o que a Teoria de Galois atraiu a atenção de muitos matemáticos, entre eles Paolo Ruffini, Joseph-Alfred Serret e Augustin-Louis Cauchy.
As pesquisas sobre soluções de equações algébricas estimularam o interesse em números irracionais algébricos e transcendentes. Em 1844, Liouville foi o primeiro a provar a existência de números transcendentes. Fez isso demonstrando alguns resultados sobre a aproximação de irracionais algébricos por números racionais e estabelecendo uma desigualdade que serviu como critério de transcendência. Em seguida, forneceu um exemplo explícito. Demonstrou que qualquer número da forma
{\displaystyle {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2!}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3!}}}+\cdots ,}
são inteiros de 0 a 9, é transcendente.
A função de Liouville, um conceito importante na teoria dos números, recebeu seu nome em sua homenagem.